sábado, junio 07, 2008
viernes, junio 06, 2008
Problema de Leontief y Nash resuelto
Bajo los supuestos que siguen, determine el equilibrio en el modelo de Leontief de negociación entre empresa y sindicato en el que el sindicato primero determina el salario y luego la empresa determina el nivel de empleo: Muestre que tal equilibrio es ineficiente. Encuentre la solución cooperativa de Nash a partir del resultado de la negociación previamente encontrada.
Suponemos que Y = 10.X- X²
P = 1
U = w.X
B = P.Y – w.X
donde Y: producción, P: precio del producto, X cantidad de trabajadores w: salario, B: beneficio empresario y U utilidad del sindicato.
En este modelo la empresa maximiza beneficios o sea
1) dB/dX = 0 o sea (10 -2X –w) = 0 es decir X = 5- w/2
Por su parte el sindicato maximiza utilidad sabiendo que la empresa maximizará beneficios. Como el sindicato propone el salario y la empresa fija el nivel de empleo más conveniente para sí en este modelo, la conducta del sindicato se refleja en la siguiente ecuación:
2) dW/dw = 0 o sea d(5-w/2)w/dw es decir d(5w-w²/2)dw = 5-w = 0.
Entonces w* = 5. y X* = 2,5.
El beneficio empresario en consecuencia será 6,25 , valor que surge de reemplazar en la función de beneficios los valores encontrados.
3) (10x 2,5 – 2,5² -2,5x5 ) = (25 – 6,25 – 12,5) = 6,25
La utilidad del sindicato por su parte será igual a 12,5 – el resultado de 2,5x5 -.
4) W* = w* X.* = 12,5.
Este resultado es ineficiente dado que no cumple con el criterio de Pareto: es posible mejorar la utilidad de ambos participantes si se hubiese fijado un par w , X diferente. Para determinar los valores limites a estas variables que cumplan con el criterio de Pareto, en primer lugar
a) buscamos el mayor nivel de utilidad que puede obtener el sindicato sujeto a que el beneficio empresario no sea inferior al conseguido en la negociación anterior- es decir 6,25-
b) luego, buscamos el mayor nivel de beneficio que puede obtener el empresario sujeto a que la utilidad del sindicato no sea inferior al conseguido en la negociación anterior- es decir 12,5-
A tal fin procedemos como sigue
a) Para maximizar U sujeto a B = 6,25 formamos el Lagrangeano L
L = w.X –λ.(10.X - X²- w.X – 6,25), diferenciamos respecto a las variables endógenas del sistema e igualamos a cero: o sea
δL/δw = X – λ.(-X) = 0
δL/δX = w – λ.( 10- 2.X –w) = 0
δL/δ λ = 10.X - X²- w.X – 6,25 = 0
Resolviendo se obtiene X* = 5 y w* = 3,75 y U* = 18,75
b) Para maximizar beneficio sujeto a U* = 12,5 formamos el Lagrangeano V
V = 10.X - X²- w.X - μ.( w.X - 12,5) diferenciamos respecto a las variables endógenas del sistema e igualamos a cero:
δV/δw = -X – μ.(X) = 0
δV/δX = 10- 2.X –w – μ.(w) = 0
δV/δμ = w.X - 12,5 = 0.
Resolviendo se obtiene X* = 5 y w* = 2,5 y B* = 12,50.
Comparando los valores obtenidos con los resultantes de la negociación puede apreciarse que la ganancia que se podría haber obtenido para cualquiera de ellos no alterando la situación de la contraparte es de 6,25.
En forma más general podemos obtener el conjunto de posibilidades de Utilidad de las partes como sigue:
Max L = w.X –λ.(10.X - X²- w.X – B°)
y
δL/δw = X – λ.(-X) = 0
δL/δX = w – λ.( 10- 2.X –w) = 0
δL/δ λ = 10.X - X²- w.X – B° = 0
ó
max V = 10.X - X²- w.X - λ.( w.X – U°)
δV/δw = -X – μ.(X) = 0
δV/δX = 10- 2.X –w – μ.(w) = 0
δV/δμ = w.X – U° = 0.
De lo cual se deduce que B° = 25 - U°
Teniendo en cuenta que la negociación entre las partes conducen a una distribución de las utilidades entre las partes de 18,75 para el empresario y 12,5 para el sindicato, obtenemos una nueva curva de posibilidades de Utilidad post negociación igual a B = 6,25 – U que entonces se constituye en el conjunto de negociación para las partes post negociación.
Si las partes ahora acordaran aceptar los postulados de la teoría de la negociación cooperativa de Nash, lo que habría que hacer para determinar la división justa de las posibles ganancias es maximizar el producto de Nash, esto es el producto de las utilidades de las partes sujeto a la frontera de posibilidades de Utilidad, o sea
U°.B° sujeto a B° = 6,25 – U°.
El resultado es B° igual a U° igual a 3,125.
El acuerdo cooperativo de Nash resultaría en que la empresa emplee 5 unidades de trabajo a un salario de 3,125.
X= 5 y w= 3,125.
Suponemos que Y = 10.X- X²
P = 1
U = w.X
B = P.Y – w.X
donde Y: producción, P: precio del producto, X cantidad de trabajadores w: salario, B: beneficio empresario y U utilidad del sindicato.
En este modelo la empresa maximiza beneficios o sea
1) dB/dX = 0 o sea (10 -2X –w) = 0 es decir X = 5- w/2
Por su parte el sindicato maximiza utilidad sabiendo que la empresa maximizará beneficios. Como el sindicato propone el salario y la empresa fija el nivel de empleo más conveniente para sí en este modelo, la conducta del sindicato se refleja en la siguiente ecuación:
2) dW/dw = 0 o sea d(5-w/2)w/dw es decir d(5w-w²/2)dw = 5-w = 0.
Entonces w* = 5. y X* = 2,5.
El beneficio empresario en consecuencia será 6,25 , valor que surge de reemplazar en la función de beneficios los valores encontrados.
3) (10x 2,5 – 2,5² -2,5x5 ) = (25 – 6,25 – 12,5) = 6,25
La utilidad del sindicato por su parte será igual a 12,5 – el resultado de 2,5x5 -.
4) W* = w* X.* = 12,5.
Este resultado es ineficiente dado que no cumple con el criterio de Pareto: es posible mejorar la utilidad de ambos participantes si se hubiese fijado un par w , X diferente. Para determinar los valores limites a estas variables que cumplan con el criterio de Pareto, en primer lugar
a) buscamos el mayor nivel de utilidad que puede obtener el sindicato sujeto a que el beneficio empresario no sea inferior al conseguido en la negociación anterior- es decir 6,25-
b) luego, buscamos el mayor nivel de beneficio que puede obtener el empresario sujeto a que la utilidad del sindicato no sea inferior al conseguido en la negociación anterior- es decir 12,5-
A tal fin procedemos como sigue
a) Para maximizar U sujeto a B = 6,25 formamos el Lagrangeano L
L = w.X –λ.(10.X - X²- w.X – 6,25), diferenciamos respecto a las variables endógenas del sistema e igualamos a cero: o sea
δL/δw = X – λ.(-X) = 0
δL/δX = w – λ.( 10- 2.X –w) = 0
δL/δ λ = 10.X - X²- w.X – 6,25 = 0
Resolviendo se obtiene X* = 5 y w* = 3,75 y U* = 18,75
b) Para maximizar beneficio sujeto a U* = 12,5 formamos el Lagrangeano V
V = 10.X - X²- w.X - μ.( w.X - 12,5) diferenciamos respecto a las variables endógenas del sistema e igualamos a cero:
δV/δw = -X – μ.(X) = 0
δV/δX = 10- 2.X –w – μ.(w) = 0
δV/δμ = w.X - 12,5 = 0.
Resolviendo se obtiene X* = 5 y w* = 2,5 y B* = 12,50.
Comparando los valores obtenidos con los resultantes de la negociación puede apreciarse que la ganancia que se podría haber obtenido para cualquiera de ellos no alterando la situación de la contraparte es de 6,25.
En forma más general podemos obtener el conjunto de posibilidades de Utilidad de las partes como sigue:
Max L = w.X –λ.(10.X - X²- w.X – B°)
y
δL/δw = X – λ.(-X) = 0
δL/δX = w – λ.( 10- 2.X –w) = 0
δL/δ λ = 10.X - X²- w.X – B° = 0
ó
max V = 10.X - X²- w.X - λ.( w.X – U°)
δV/δw = -X – μ.(X) = 0
δV/δX = 10- 2.X –w – μ.(w) = 0
δV/δμ = w.X – U° = 0.
De lo cual se deduce que B° = 25 - U°
Teniendo en cuenta que la negociación entre las partes conducen a una distribución de las utilidades entre las partes de 18,75 para el empresario y 12,5 para el sindicato, obtenemos una nueva curva de posibilidades de Utilidad post negociación igual a B = 6,25 – U que entonces se constituye en el conjunto de negociación para las partes post negociación.
Si las partes ahora acordaran aceptar los postulados de la teoría de la negociación cooperativa de Nash, lo que habría que hacer para determinar la división justa de las posibles ganancias es maximizar el producto de Nash, esto es el producto de las utilidades de las partes sujeto a la frontera de posibilidades de Utilidad, o sea
U°.B° sujeto a B° = 6,25 – U°.
El resultado es B° igual a U° igual a 3,125.
El acuerdo cooperativo de Nash resultaría en que la empresa emplee 5 unidades de trabajo a un salario de 3,125.
X= 5 y w= 3,125.
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