programacion lineal

PROGRAMACION LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA . 3 INTRODUCCION 4 Generalidades 4 Idea fuerza 5 Programa a seguir en este texto 5 Montando el modelo 6 Ejemplos y Ejercitacion 6 El metodo simplex 7 Dualidad 7 Interpretacion economica en PL 7 Analisis de sensibilidad 8 Apendice 8 MONTANDO EL MODELO. 9 Comentarios preliminares: 9 Problemas-hipotesis-contraste observacion-problemas-etc. 9 Un planteo sencillo suceptible de traducirse en terminos de programacion lineal. 10 El esquema de los cinco pasos de la PL para establecer el modelo. 11 Aplicacion del esquema de los cinco pasos al problema especifico planteado. 12 1)Definicion del conjunto de actividades. 12 2)Definicion del conjunto de items. 12 3)Coeficientes de Insumo-Producto 12 4) Flujos externos 13 5)Ecuaciones de balance. 13 5’)Volver al paso 1 13 Enunciado I 13 Figura I 14 Figura 2 14 Tabla de Danzig 15 Figura 4 15 EJEMPLOS Y EJERCITACION 1 1) Dos maneras de presentar en terminos de PL un mismo enunciado 1 Tabla I de Danzig del problema de Produccion , Ensilage y Venta 2 Tabla II de Danzig del problema de Produccion,Ensilage y Venta 3 2)Actividades que trasladan cosas en el espacio 3 Cuadro tarifario por paquete expresado en $ por envio 4 Tabla de Danzig para el problema de transporte 4 3) Problema de la dieta 5 Cuadro de contenidos nutricionales 5 Tabla de Danzig para el problema de la dieta 5 5) Un problema de optimizacion en la industria de la confeccion. 6 6) un problema de organizacion industrial 7 Tabla de Danzig para el problema de optimizacion industrial 8 Cuadro de definicion de actividades 8 7)Problema de cumplir un contrato con capacitacion de personal 8 Tabla de Danzig para el problema del cumplimiento de un contrato con capacitacion para la tarea. 11 8)Variante del problema de la gallina y el huevo 11 Tabla de Danzig de la gallina y el huevo 13 EL METODO SIMPLEX 1 Generalidades 1 Las dos fases del metodo simplex 1 Una inspeccion geometrica 2 Figura 5 2 Figura 6 3 Figura 7 4 Mecanica conceptual del metodo 5 Figura 8 5 La forma canonica 6 La rutina simplex 6 El criterio simplex 7 Aplicacion de la rutina simplex al problema del enunciado I 8 Tabla de Simplex 1 10 Tabla de Simplex 2 (vacia) 11 Tabla de Simplex 2 (incompleta) 11 Tabla de Simplex 2 (completa) 12 Tabla de Simplex 3 ( final) 12 Fase I del simplex 12 Tabla I de simplex para el programa de factibilidad 14 Tabla II de simplex para el programa de factibilidad 14 Tabla III de simplex para el programa de factibilidad 14 Resumen del metodo simplex 14 DUALIDAD 1 Diferencias entre los problema de programacion lineal 2 Tres trucos utiles en PL 2 Ejercicio: formular el problema dual del siguiente problema: 3 Teoremas de Dualidad 4 Teorema I : 4 Teorema II : 4 INTERPRETACION ECONOMICA EN PL 1 Interpretacion de la dualidad 1 La tabla de simplex y dualidad 3 ANALISIS DE SENSIBILIDAD 1 Un ejemplo que ilustra el analisis de sensibilidad 1 Tabla III ( final) 2 APENDICE 1

Programacion lineal como instrumento de modelacion microeconomica . Por Fernando V. Tow Profesor Asociadoa a Cargo de la Primera Catedra de Principios de Economia III en la FCE de la UBA INTRODUCCION

Generalidades

Aceptado el concepto de que es possible distinguir entre realidad y representacion de esta ,asi como la idea de que una porcion de aquella puede conceptualizarse como un sistema, es decir como un conjunto de partes interconectadas ,es posible afirmar que la realidad economica en que vivimos, muchas veces muestra caracteristicas de linealidad (o, cuanto menos, aproximadamente lineales.) Con lo de linealidad queremos expresar la nocion que a) los objetos o flujos que pertenecen a un determinado sistema de la realidad estan relacionados en forma directamente proporcional , b) que los objetos o flujos del sistema de la realidad -medidos en iguales unidades de medida -pueden ser sumados o restados c) que las cantidades que se miden en el sistema real no pueden ser negativas y d) finalmente, que el objetivo o conducta del sistema puede resumirse en la optimizacion de una funcion o forma lineal- esto es obtener el "mejor" valor de una variable cuyos argumentos son i) directamente proporcionales a dicho valor, y ii) son sumables aritmeticamente. Siendo ello asi, la tecnica de programacion lineal ( PL) con que pretendemos modelar la realidad -es decir describir en forma simplificada los aspectos mas salientes del univero que nos interesa - en base a relaciones de proporcionalidad, aditividad y no negatividad ,y con funcion objetivo lineal, resultara especialmente aplicable al poderese establecer una clara correspondencia entre modelo y realidad. Y aun cuando la realidad se mostrara reacia a la linealidad , y por tanto otros metodos de programacion fueran mas pertinentes , aun entonces mucho de lo visto bajo el capitulo de PL resultara de utilidad y habra servido como un primer paso en el estudio del titulo mas general de modelos matematicos de optimizacion.

Idea fuerza

La idea fuerza detras de la programacion lineal -y de otras ramas de la economia y la programacion matematica con estructura funcional-quizas sea el concepto de actividad o proceso -suerte de caja negra entre insumos y productos-con en el que se puede descomponer el sistema de la realidad que se desea modelar (y que a su vez puede desagregarse en sub procesos en sentido descendente , cuantas veces resulte pertinenteal fin perseguido y aun pensarse en el sistema mismo como un proceso o actividad de orden superior.) Por ejemplo, la tarea que efectua una empresa puede imaginarse como un proceso que transforma recursos varios(insumos o inputs) en resultados( productos o outputs) al tiempo que dentro de tal proceso de orden superior se realizan una cantidad de procesos mas simplificados en los cuales participan tambien insumos que se convierten en producto (y que a su vez etc.) como podrian ser las actividades que tienen lugar en diferentes areas de la empresa- ventas , fabricacion , administracion- y dentro de las cuales pueden distinguirse sub procesos como en el caso que la empresa fabricara diferentes productos - o uno solo si para ello utilizara distintas lineas de produccion.- y dentro de estos subprocesos desagregaramos mas actividades como ser las acciones de los operarios en la transformacion de la materia prima dentro de la actividad mas abarcadora.

Programa a seguir en este texto

En las proximas paginas hemos de poner en sus manos un muy potente instrumento para modelar situaciones microeconomicas de la realidad: la programacion lineal. Con esta herramienta Vd. podra representar una gran variedad de situaciones de la realidad en la que existe el objetivo de optimizar una funcion lineal , limitada por restricciones de caracter lineal y por requerimientos de no negatividad. La modelacion tambien podra plantearse en el sentido prescriptivo , esto es , plantear el modelo que la realidad deba imitar a los efectos de lograr los objetivos postulados por este. Por ejemplo , si desamos entender las decisiones de produccion de una determinada comunidad agricola- en la medida que se cumplan los supuestos de linealidad mencionados- que entendemos pueda exhibir una conducta maximizadora de beneficios, podremos modelar dicha realidad con la programacion lineal y luego analizar si los resultados de nuestra construccion mental se ajustan o no - o en que medida- a los datos observados de la realidad. Alternativamente , habiendose establecido una formulacion de programacion lineal de la realidad, en base a los resultados del modelo , se podrian efectuar recomendaciones a dicha comunidad agricola para que se logren en forma eficiente los objetivos de optimizacion que se considerasen pertinentes a esta situacion.

Montando el modelo

Nuestro primer paso consistira en mostrar los diversos ingredientes y pasos a seguir para montar el modelo de programacion lineal requerido a saber : Items , actividades , coeficientes de insumo producto , flujos externos y ecuaciones de balance. La definicion e identificacionde los ingredientes en los problemas, fijar las convenciones a respetar y la aplicacion de retroalimentaciones en el proceso de montado del modelo nos llevara a establecer las actividades de disposicion o de surplus. La formulacion"standard" del problema en forma de tabular y con ecuaciones resultara el objetivo de nuestro esfuerzo. Como en todos los puntos subsiguientes , hemos de acompañar nuestra exposicion con un ejemplo numerico y conceptual sencillo .

Ejemplos y ejercitacion

Profundizando lo visto en el punto anterior ,enunciaremos varios problemas suceptibles de ser traducidos en terminos del modelo de programacion lineal y efectuaremos dicha traduccion. Los ejemplos han sido elegidos con el doble objetivo de mostrar la versatilidad del modelo para atacar problemas de muy distinto origen y tipo y como practica ilustrativa de la aplicacion de los principios de montado del modelo de PL en situacions concretas.

El metodo simplex

Una vez que nos hayamos familiarizado con la formulacion de problemas de programacion lineal ,describiremos y aplicaremos la tecnica conocida por " el metodo simplex" para encontrar la (o las soluciones) al problema de optimizacion planteado si este la (o las tuviera), o, señalar la inexistencia en caso contrario. En esta seccion se analizaran las posibles alternativas que se pudieran plantear con este metodo de resolucion y ayudaremos a nuestros razonamientos verbales y matematicos con un planteo geometrico y aplicando nuestra intiucion economica .

Dualidad

En las ejemplos analizados se habra visto que puede haber varias representaciones diferentes de PL - aunque congruentes- para una misma situacion y que varios problemas planteados como de maximizacion podian resolverse e interpretarse sin dificultad alguna como de minimizacion- y viceversa-. Enseguida descubriremos que existe una sorprendente formulacion de programacion lineal alternativa para el mismo caso- formulacion que se denomina el problema dual- de cuya resolucion se obtiene el mismo resultado de optimizacion que en el planteo original- .que ahora denominamos problema primal. La relacion entre el dual y el primal sera indagada , una vez planteados los dos principales teoremas de la programacion lineal. El misterioso concepto de precios sombra en un sistema economico sera entonces develado.

Interpretacion economica en PL

A renglon seguido se examinaran las interpretaciones economicas de la formulacion dual asi como la contenida en " el metodo simplex". Como disgresion- o si se quiere como un ejemplo de aplicacion del teorema de dualidad- uno de los apuntados arriba- se mostrara un metodo muy sencillo de resolucion del problema del transporte , el que se hara extensible a otros problemas de programacion lineal cuya estructura matematica particular es semejante al del clasico problema como por caso, el problema de la asignacion de tareas.

Analisis de sensibilidad

Finalmente se presenta el analisis de estatica comparada al que se puede sujetar cualquier problema de programacion lineal - en la jerga matematica y de la PL llamado analisis de sensibilidad- con el que se examina los efectos de variar el valor de los parametros del problema sobre la solucion optima encontrada asi como los limites para los cuales tales cambios carecen de significacion.

Apendice

En el apendice incluiremos una serie de problemas, que son del estilo examen , para poner a prueba los conocimientos adquiridos . Tambien aprenderemos como , una vez planteado un problema de programacion lineal en un todo de acuerdo con lo expuesto precedentemente , este puede ser ingresado y resuelto en un ordenador de uso personal en base a programas de muy difundido uso en la actualidad, como ser el SOLVER de EXCEL ( para windows 95, Version 6.0) o con el Optimiza de QPRO ( version ) ambos disponibles en el gabinete de computacion de nuestra facultad donde ademas se encontraran ejemplos adicionales de problemas de PL, que sugerimos se examinen. Una corta bibliografia consultada cierra esta seccion.